a) Tìm công suất tỏa nhiệt trên điện trở  R 4

Chọn chiều dòng điện qua các điện trở trong mạch như hình vẽ.

* Xét tại nút A ta có: I = I 1 + I 2        (1)

Với vòng kín ACDA  ta có:

I 1 R 1 - I X R X - I 2 R 2   =  0                           (2)

Thế (1) vào (2) ta được biểu thức I :

I 1 R 1   -   I X R X   -   ( I   -   I 1 ) R 2   =   0 I 1 R 1   -   I X R X   -   I R 2   +   I 1 R 2   =   0 I 1 ( R 1   +   R 2 )   =   I X R X + I R 2 ⇒ I 1 = I X . R X + I . R 2 R 1 + R 2 = I X . R X + I . R 4 R          (3)

* Xét tại nút B ta có: I 3   =   I -   I 4         (4)

Với vòng kín BCDB ta có:

I 3 R 3   -   I X R X   +   I 4 R 4   =   0 I 3 R   -   I X R X   + I 4 X   =   0                (5)

Thế (4) vào (5) ta có biểu thức I 4 :
( I   -   I 4 ) R   -   I X R X   +   I 4 R   =   0 I . R   +   I 4 R   -   I X R X   + I 4 R   =   0

⇒ I 4   =   I . R   +   I X R X 2 R     (6)

Từ (3) và (6) ta có:   =  2 ð    =    = 

Vậy công suất tỏa nhiệt trên  R 4 khi đó là  P 4   = 4 3 P 1   = 12 W .

b) Tìm  R X theo R để công suất tỏa nhiệt trên  R X cực đại

Từ (4) và (5) ta có biểu thức I 3 :

I 3 R   - I X R X   +   ( I   -   I 3 ) R   =   0 I 3 R   - I X R X   +   I R   -   I 3 R   =   0 ⇒ I 3 =   I . R - I X R X 2 R                                (7)

Ta có:  U   =   U A B   =   U A C   +   U C B   =   I 1 . R 1   +   I 3 R 3 U   =   I 1 3 R   +   I 3 R                     (8)

Thế (3) và (7) vào (8) ta được:

U   =   I X R X + I . R 4 R . 3 R + I . R - I X R X 2 R . R 4 U = 3 . I X R X + 3 . I . R + 2 I . R - 2 I X R X 4 U = 5 . I . R + I X R X                           (9)

Tính I:

Ta có:  

I   =   I 1   +   I 2   =   I 1   +   I 4   +   I X   =   3 I 1   +   I X   = 3 . I X R X + I R 4 R   +   I X ⇒ 4 . I . R   =   3 I X R X   + 3 . I . R + 4 . I X . R ⇒ I R   =   3 I X . R X   +   4 . I X . R     t h a y   v à o   ( 9 )   t a   đ ư ợ c : 4 U   =   5 . ( 3 I X . R X + 4 I X . R ) + I X R X   =   15 . I X . R X + 20 I X R + I X R X = 16 . I X R X + 20 I X R ⇒ I X = U 4 R X + 5 R

Hai số dương 4 R x  và 5 R R x  có tích 4 R x   . 5 R R x   =   20 R không đổi thì theo bất đẳng thức Côsi, tổng của hai số đó nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau nghĩa là khi 4 R x   =   5 R R x   ⇒ R x   = 1 , 25 R ; mẫu số ở vế phải của biểu thức (10) nhỏ nhất nghĩa là  P X cực đại. Vậy PX cực đại khi  R X   = 1 , 25 R .

Yêu cầu của đề là gì vậy em ?

a) Vôn kế đo hiệu điện thế giữa hai đầu A và D

Khi K mở: không có dòng điện chạy qua  R 3 ,   R 4   v à   R 5 .

Mạch ngoài: R 1   n t   R 2   n t   R X

Điện trở mạch ngoài:  R N   =   R 1   +   R 2   +   R X   =   3 , 8 Ω .

Cường độ dòng điện mạch chính:   I = E R X + r = 1 , 25 Ω

Số chỉ của vôn kế:  U V = U A D = U A B = E - I r = 4 , 75 V .

Công suất tiêu thụ trên  R X   :   P X m = I 2 . R X = 3 , 125 W .

Khi K đóng: mạch ngoài có:  R 1   n t   R 2   n t   ( R X / / ( R 3   n t   R 4   n T   R 5 ) )

Điện trở mạch ngoài:  R N   = R 1 + R 2 + R X ( R 3 + R 4 + R 5 ) R X + R 3 + R 4 + R 5 = 3 Ω

Cường độ dòng điện mạch chính:   I = E R N + r = 1 , 5 A .

Hiệu điện thế giữa  C B :   U C B = I . R C B = 1 , 5 . 1 , 2 = 1 , 8 V .

Cường độ dòng điện chạy qua  R 5 :   I 5 = U C B R 345 = 0 , 6 A .

Số chỉ của vôn kế:  U V = U A D = U A B + U B D = E - I r - I 5 . R 5 = 3 , 9 V .

Cường độ qua  R X :   I X   =   I   -   I 5   =   0 , 9 A .

Công suất tiêu thụ trên  R X   :   P x đ   =   I X 2 . R X = 1 , 62 W .

b) Khi K đóng: mạch ngoài có:  R 1   n t   R 2   n t   ( R X   / /   ( R 3   n t   R 4   n t   R 5 ) )

Gọi  R X là x khi K đóng:

Ta có:  R C B = x ( R 3 + R 4 + R 5 ) x + R 3 + R 4 + R 5 = 3 x 3 + x

Điện trở mạch ngoài:  R N = R 12 + R C B = 1 , 8 + 3 x 3 + x = 5 , 4 + 4 , 8 x 3 + x

Cường độ dòng điện mạch chính:  I = E R N + r = 6 5 , 4 + 4 , 8 x 3 + x + 1 = 6 ( 3 + x ) 8 , 4 + 5 , 8 x

Hiệu điện thế hai đầu AC:  U A C = I . R 12 = 1 , 8 . 6 ( 3 + x ) 8 , 4 + 5 , 4 x . 3 x 3 + x = 18 x 8 , 4 + 5 , 8 x (1)

Hiệu điện thế hai đầu CB:   U C B = I . R C B = 6 ( 3 + x ) 8 , 4 + 5 , 4 x . 3 x 3 + x = 18 x 8 , 4 + 5 , 8 x (2)

Cường độ dòng điện qua  R 345   l à   I 345 = 18 x ( 8 , 4 + 5 , 8 x ) 3 = 6 x 8 , 4 + 5 , 8 x

Hiệu điện thế hai đầu CD: U C D = I 345 . R 345 = 6 x 8 , 4 + 5 , 8 x . 2 = 12 x 8 , 4 + 5 , 8 x (3)

Số chỉ của vôn kế bằng điện áp hai đầu AD:  U A D = U A C + U C D

Từ (1) và (3) ta có:  U A D = 32 , 4 x + 10 , 8 x 8 , 4 + 5 , 8 x + 6 x 8 , 4 + 5 , 8 x = 32 , 4 + 22 , 8 x 8 , 4 + 5 , 8 x

Đạo hàm  U A D theo x ta được:  U A D = 22 , 8 . 8 , 4 - 5 , 8 . 32 , 4 ( 8 , 4 + 5 , 8 x ) 2 = 3 , 6 ( 8 , 4 + 5 , 8 x ) 2

U A D >   0 với mọi x nên U A D luôn tăng khi x tăng, nên khi x thay đổi từ 0 đến 10  thì số chỉ vôn kế luôn tăng.

+ Công suất tiêu thụ trên  R X :

P X   =   I X 2 . R X ;   v ớ i     I X = U C B R X = 18 x ( 8 , 4 + 5 , 8 x ) x = 18 8 , 4 + 5 , 8 x

Vậy  P X   =   18 2 ( 8 , 4   + 5 , 8 x ) 2 x = 18 x 2 70 , 56 + 97 , 44 x + 33 , 64 x 2 .   K h i   x =   0   t h ì   P X = 0 .

Khi x ≠ 0  ta có:  P X = 18 2 97 , 44 + 70 , 56 x + 33 . 64 x . P X = 18 2 97 , 44 + 70 , 56 x + 33 , 64 x

Theo bất đẵng thức Côsi ta có: 70 , 56 x + 33 , 46 x m i n khi ð x = 1,45

Vậy  P m a x   k h i   R X = 1 , 45 Ω .